Voici tout ce qu'il y a à savoir sur cette catégorie FL/S.
En toutes généralités, c'est une catégorie exacte au sens de Quillen. Plus précisément, le plongement de FL/S dans la catégorie des faisceaux de groupes abéliens fppf sur $S$ font de FL/S une sous-catégorie stable par extensions dans cette catégorie abélienne de faisceaux fppf. Dans une catégorie exacte on dispose d'une notion de monomorphismes et épimorphismes stricts: ce sont ceux qui peuvent s'insérer dans une suite exacte. Alors, si $f:G\rightarrow H$ est un morphisme de schémas en groupes, $f$ est un monomorphisme strict si et seulement si c'est une immersion fermée. De plus, $f$ est un épimorphisme strict si et seulement si c'est un morphisme fidèlement plat.
En général cette catégorie exacte n'est pas abélienne. Comme rappelé précédemment c'est cependant le cas si $S$ est le spectre d'un corps.
Maintenant supposons que $S$ soit le spectre d'un anneau de valuation d'inégales caractéristiques que je note $\mathcal{O}_K$.
Lorsque $e_{K/\mathbb{Q}_p} < p-1$ Raynaud a montré que c'est une catégorie abélienne. De plus, le foncteur fibre générique $G\mapsto G\otimes K$ est pleinement fidèle et identifie FL/S à une sous-catégorie abélienne de FL/$spec(K)$ (i.e., après un choix d'une clôture algébrique $\overline{K}$ de $K$, une sous-catégorie abélienne de la catégorie des $Gal(\overline{K}|K)$-modules discrets finis en tant que groupe abélien).
Lorsque $e \geq p-1$ le résultat précédent est faux. Néanmoins on a le résultat suivant: dans FL/S tout morphisme possède un noyau et un conoyau. Plus précisément, si $f$ est un morphisme dans FL/S alors le platifié de $\ker f$ ($\ker f =$ noyau usuel dans la catégorie des schémas en groupes non-nécessairement plats) (platifié= on tue la $p$-torsion) est un noyau dans $FL/S$ du morphisme $f$. On construit de même l'image de $f$ comme adhérence schématique de l'image en fibre générique. Cependant, la catégorie précédente n'est pas abélienne. Soit en effet $K=\mathbb{Q}_p (\zeta_p)$ et
$$
f: \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \longrightarrow \mu_p
$$
le morphisme qui à $\bar{1}\in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ associe $\zeta_p\in \mu_p$. Alors, $f$ est un isomorphisme en fibres génériques. On en déduit que dans FL/S les noyaux et conoyaux de $f$ sont nuls. Ce n'est cependant pas un isomorphisme !
As requested by the OP in the comments of the (correct and complete) accepted answer of user131755: it's possible to say more.
Theorem [Mochizuki 2004, vDdB 2019]. Let $S$ and $S'$ be schemes. Then the natural functor
$$\operatorname{Isom}(S,S') \to \mathbf{Isom}(\mathbf{Sch}_{S'},\mathbf{Sch}_S)$$
is an equivalence of categories, where $\operatorname{Isom}(S,S')$ is a discrete category and $\mathbf{Isom}$ denotes the category whose objects are equivalences and whose morphisms are natural isomorphisms.
The version where $\mathbf{Sch}$ denotes the category of locally Noetherian schemes with finite type morphisms is due to Mochizuki [Mochizuki 2004], and the general statement appears in a preprint of myself [vDdB 2019].
In particular, taking $S = S' = \operatorname{Spec} \mathbf Z$ answers the question, since $\operatorname{Aut}(\operatorname{Spec} \mathbf Z) = 1$.
Some ideas of the proof.
Here is a broad overview of the proof; more details can be found in [vDdB 2019]. As will become clear, most of the ideas were already present in some form, but there were some key tricks missing.
1. Underlying set.
The underlying set of $X \in \mathbf{Sch}_S$ is reconstructed as the set of isomorphism classes of simple subobjects.
2. Topology.
Although we don't know if regular monomorphisms in $\mathbf{Sch}$ are the same as (locally closed) immersions (see also this question), we do know:
- Every open immersion is a regular monomorphism;
- Every closed immersion is a regular monomorphism;
- Every regular monomorphism is an immersion.
Thus, a morphism $f \colon X \to Y$ is an immersion if and only if it can be written as a composition of two regular monomorphisms.
Next, one shows:
Proposition. Let $(X,x)$ be a pointed scheme. Then $(X,x) \cong (\operatorname{Spec} R, \mathfrak m)$ for a valuation ring $R$ with maximal ideal $\mathfrak m$ if and only if all of the following hold:
- $X$ is reduced and connected;
- the category of immersions $Z \hookrightarrow X$ containing $x$ is a linear order;
- there exists a subset $V \subseteq |X|$ that is the support of infinitely many pairwise non-isomorphic immersions $Z \hookrightarrow X$ containing $x$.
Together with the characterisation of immersions, this leads to categorical criteria for closed immersions and open immersions in $\mathbf{Sch}_S$.
3. Quasi-coherent sheaves.
A variant of the Beck cogroup argument (see also user131755's post) realises nilpotent thickenings $\mathbf{Spec}_X(\mathcal O_X \oplus \mathscr F) \to X$ as cogroups in $X/\mathbf{Sch}_X$. This gives (loosely speaking) a pseudofunctor
\begin{align*}
\mathbf{Sch}_S &\to \mathbf{Cat}^{\operatorname{op}}\\
X &\mapsto \mathbf{Qcoh}(\mathcal O_X),
\end{align*}
reconstructed from $\mathbf{Sch}_S$ using only categorical data.
4. The structure sheaf.
Now we run an enhanced version of this argument of the OP (that took place in the ring setting). We would like to say that the '(pre)sheaf End' $\mathscr End(\mathbf{Qcoh}(\mathcal O_{-}))$ on $\mathbf{Sch}_S$ is isomorphic to the structure (pre)sheaf $\mathcal O$ on the big Zariski site $\mathbf{Sch}_S$.
This is possible, but the difficulty is to say what exactly this presheaf End (or really prestack End) should be (also since it all takes place on the big Zariski site $\mathbf{Sch}_S$, not just the small Zariski site $S$).
5. Proof of main theorem.
By 2 and 4 above, we have reconstructed from $\mathbf{Sch}_S$ the topology on $|S|$ together with its structure sheaf $\mathcal O_S$. This gives (roughly speaking) some sort of lax functor of $2$-categories
\begin{align*}
\{\text{categories equivalent to } \mathbf{Sch}_S \text{ for some } S\} &\to \mathbf{Sch}\\
\mathbf{Sch}_S &\mapsto S.
\end{align*}
But in fact the reconstruction of the scheme $X \in \mathbf{Sch}_S$ (with its structure morphism $X \to S$) from categorical data in $\mathbf{Sch}_S$ is functorial in $X$. With some work, this shows that this lax functor is a lax inverse of $S \mapsto \mathbf{Sch}_S$. $\square$
(Because I don't really speak $n$-category, I phrase the last part a little differently in my paper.)
References.
[vDdB 2019] Remy van Dobben de Bruyn, Automorphisms of categories of schemes, 2019. Submitted. arXiv:1906.00921.
[Mochizuki 2004] Shinichi Mochizuki, Categorical representation of locally Noetherian log schemes. Adv. Math. 188.1, p. 222-246 (2004). ZBL1073.14002.
Best Answer
$\DeclareMathOperator\Spec{Spec}$Actually, your suggested categorical characterization of spectra of fields does work.
Edit: (I had written something incorrect here)
By Martin's comment below, we just have to show that maps from affines into $\Spec(k)$ are epis in the full category. But if we had two maps $f,g: \Spec(k) \rightarrow Y$ which agreed on some affine mapping into $\Spec(k)$, then first of all $f$ and $g$ would have to be the same topological map. Then both would land inside some affine $\Spec(R)\subset Y$, and now we're reduced to the affine situation where we know it holds.
Conversely, suppose $X$ is not the spectrum of a field. If every point is dense, $X$ is affine and we are done by what we know about the affine subcategory. Otherwise, we can find an open subscheme $U\subsetneq X$. Then the inclusion of $U$ into $X$ is not an epi as is witnessed by the two inclusions
$$X \rightrightarrows X\sqcup_U X,$$
where the last object is $X$ glued to itself along $U$.