I'm trying to understand the properties of the category $\mathcal{FL}/S$ of finite locally-free commutative group schemes over an arbitrary base-scheme $S$. I know it is not in general an abelian category: Over the integers the morphism $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to\mu_2$ given by the ring homomorphism $\mathbb{Z}/(T^2-1)\to\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ with $T\mapsto (1,-1)$ is a monomorphism and an epimorphism in $\mathcal{FL}/\mathbb{Z}$ but it is clearly not an isomorphism.
What I don't know: Does every morphism in $\mathcal{FL}/S$ have a kernel and/or a cokernel?
One has a notion of short exact sequences in $\mathcal{FL}/S$: If $f:G'\to G$ and $g:G\to G''$ are morphisms in $\mathcal{FL}/S$ we say that the sequence $0\to G'\to G\to G''\to 0$ is exact if its image under the embedding of $\mathcal{FL}/S$ into the category of abelian fppf-sheaves is exact. How can we detect in $\mathcal{FL}/S$ whether a sequence is exact? Specifically: If $f$ is a kernel of $g$ and if $g$ is a cokernel of $f$ (both in $\mathcal{FL}/S$), is the corresponding sequence exact?
I'd appreciate (references for) answers to any of these questions.
Best Answer
Voici tout ce qu'il y a à savoir sur cette catégorie FL/S.
En toutes généralités, c'est une catégorie exacte au sens de Quillen. Plus précisément, le plongement de FL/S dans la catégorie des faisceaux de groupes abéliens fppf sur $S$ font de FL/S une sous-catégorie stable par extensions dans cette catégorie abélienne de faisceaux fppf. Dans une catégorie exacte on dispose d'une notion de monomorphismes et épimorphismes stricts: ce sont ceux qui peuvent s'insérer dans une suite exacte. Alors, si $f:G\rightarrow H$ est un morphisme de schémas en groupes, $f$ est un monomorphisme strict si et seulement si c'est une immersion fermée. De plus, $f$ est un épimorphisme strict si et seulement si c'est un morphisme fidèlement plat.
En général cette catégorie exacte n'est pas abélienne. Comme rappelé précédemment c'est cependant le cas si $S$ est le spectre d'un corps.
Maintenant supposons que $S$ soit le spectre d'un anneau de valuation d'inégales caractéristiques que je note $\mathcal{O}_K$.
Lorsque $e_{K/\mathbb{Q}_p} < p-1$ Raynaud a montré que c'est une catégorie abélienne. De plus, le foncteur fibre générique $G\mapsto G\otimes K$ est pleinement fidèle et identifie FL/S à une sous-catégorie abélienne de FL/$spec(K)$ (i.e., après un choix d'une clôture algébrique $\overline{K}$ de $K$, une sous-catégorie abélienne de la catégorie des $Gal(\overline{K}|K)$-modules discrets finis en tant que groupe abélien).
Lorsque $e \geq p-1$ le résultat précédent est faux. Néanmoins on a le résultat suivant: dans FL/S tout morphisme possède un noyau et un conoyau. Plus précisément, si $f$ est un morphisme dans FL/S alors le platifié de $\ker f$ ($\ker f =$ noyau usuel dans la catégorie des schémas en groupes non-nécessairement plats) (platifié= on tue la $p$-torsion) est un noyau dans $FL/S$ du morphisme $f$. On construit de même l'image de $f$ comme adhérence schématique de l'image en fibre générique. Cependant, la catégorie précédente n'est pas abélienne. Soit en effet $K=\mathbb{Q}_p (\zeta_p)$ et $$ f: \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \longrightarrow \mu_p $$ le morphisme qui à $\bar{1}\in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ associe $\zeta_p\in \mu_p$. Alors, $f$ est un isomorphisme en fibres génériques. On en déduit que dans FL/S les noyaux et conoyaux de $f$ sont nuls. Ce n'est cependant pas un isomorphisme !