This, probably, is a more appropriate answer to: "Strategies - What to do when stuck on some math problem", but I thought it was still worth mentioning.
I've always thought that section 2.1 of this book is a rather nice and concise list of concrete advice regarding how to solve problems in analysis, particularly useful--I think-- for students who might not have a large experience in tackling proofs. If I'm stuck on a problem, having a read through it, sometimes, gives me an idea of what else I can try.
The MRDP theorem gives a very good case that there is no satisfying way around this. Specifically, any foundational system we use surely needs to be able to talk about Diophantine equations. Specifically, let me phrase it this way:
Suppose $T$ is a complete computable theory. Then there is no computable function $f$ from Diophantine equations to sentences in the language of $T$ such that $T$ proves $f(E)$ iff $E$ has a solution.
Why should this be weird? Well, note that such an $f$ does exist for many natural computable, but incomplete, theories: PA, ZFC, etc., really any theory which is (i) $\Sigma_1$-sound and (ii) reasonably powerful.
Proof: otherwise, we could computably tell whether a Diophantine equation $E$ has a solution by searching through $T$-proofs - if $E$ has a solution we eventually find a proof of $f(E)$, and if $E$ has no solution then by completeness we eventually find a proof of $\neg f(E)$. And we can't find both, since then $T$ would be inconsistent and hence prove everything, and in particular prove $f(D)$ for some $D$ with no solutions, contradicting our hypothesis. $\Box$
So if we want to build a complete computable theory, we'll need to accept that this won't allow us to talk about even Diophantine equations in any reasonable way.
More generally, we're just running into the fact that the set of Diophantine equations without solutions isn't c.e.; so even if we move away from classical logic we won't be able to get completeness for Diophantine equations without proving that some Diophantine equation simultaneously does and doesn't have solutions, which is surely something we don't want!
The obvious thing to try to drop at this point is computability, but at that point our system isn't usable: we have no way to tell whether a purported proof in the system is in fact valid.
Now, this doesn't rule out interesting fragments of mathematics being fully decidable, such as arithmetic with only addition. But these are the exceptions, not the rule, and they don't even account for basic high school mathematics. Nobody would consider such a weak theory to be an appropriate foundation for mathematics.
Best Answer
If you have enough skin and endurance, the following is not exactly Gödel's theorem, but an instance of a statement as predicted by Gödel's theorem, that is - with a suitable interpretation - it states that it is not provable (which means that it must be true, but unprovable - or PA is inconsistent). But don't complain if it turns out there is a typo buried inside ...
¬∃b:∃c:∃d:〈∃e:∃f:∃g:〈a=((((((e+ f)+ g)· ((e+ f)+ g))· ((e+ f)+ g))+ ((e+ f)· (e+ f)))+ e) ∧ ∃h:∃i:〈〈∃j:h=(j· Si) ∧ 〈∃j:h=(d+ (j· S(i· Sg))) ∧ ∃j:(d+ j)=(i· Sg)〉〉 ∧ ∀j:〈∃k:S(j+ k)=g ⇒ ∀k:∀l:〈〈〈∃m:h=(k+ (m· S(i· Sj))) ∧ ∃m:(k+ m)=(i· Sj)〉 ∧ 〈∃m:e=(l+ (m· S(f· Sj))) ∧ ∃m:(l+ m)=(f· Sj)〉〉 ⇒ 〈〈¬l=SSSSSSSSSS0 ⇒ 〈〈∃m:h=S(k+ (m· S(i· SSj))) ∧ ∃m:S(k+ m)=(i· SSj)〉 ∧ 〈∃m:b=(l+ (m· S(c· Sj))) ∧ ∃m:(l+ m)=(c· Sj)〉〉〉 ∧ 〈l=SSSSSSSSSS0 ⇒ 〈〈〈∃m:h=S((a+ k)+ (m· S(i· SSj))) ∧ ∃m:S((a+ k)+ m)=(i· SSj)〉 ∧ 〈∃m:b=SSSSSSSSS(m· S(c· S(a+ k))) ∧ ∃m:SSSSSSSSSm=(c· S(a+ k))〉〉 ∧ ∀m:〈∃n:S(m+ n)=a ⇒ 〈∃n:b=SSSSSSSS(n· S(c· S(m+ k))) ∧ ∃n:SSSSSSSSn=(c· S(m+ k))〉〉〉〉〉〉〉〉〉 ∧ ∃e:∃f:∃g:∃h:∃i:〈〈〈〈〈∃j:i=(j· Sf) ∧ ∃j:i=(j· S(f· Sg))〉 ∧ ∀j:∀k:∀l:〈〈〈∃m:S(j+ m)=g ∧ 〈∃m:i=(k+ (m· S(f· Sj))) ∧ ∃m:(k+ m)=(f· Sj)〉〉 ∧ 〈∃m:i=(l+ (m· S(f· SSj))) ∧ ∃m:(l+ m)=(f· SSj)〉〉 ⇒ 〈k=l ∨ 〈∃m:e=(m· S(f· Sj)) ∧ 〈k=Sl ∨ l=Sk〉〉〉〉〉 ∧ ∀j:〈∃k:S(j+ k)=g ⇒ ∀k:∀l:∀m:∀n:〈〈〈〈〈∃o:e=(k+ (o· S(f· Sj))) ∧ ∃o:(k+ o)=(f· Sj)〉 ∧ 〈∃o:h=(l+ (o· S(f· Sj))) ∧ ∃o:(l+ o)=(f· Sj)〉〉 ∧ 〈∃o:h=(m+ (o· S(f· SSj))) ∧ ∃o:(m+ o)=(f· SSj)〉〉 ∧ 〈∃o:h=(n+ (o· S(f· SS(m+ j)))) ∧ ∃o:(n+ o)=(f· SS(m+ j))〉〉 ⇒ 〈〈〈〈〈〈∃o:((j+ l)+ o)=g ∧ 〈∃o:SSSSSSSSSo=k ⇒ l=S0〉〉 ∧ 〈〈〈k=0 ∨ k=SSSSSSS0〉 ∨ k=SSSSSSSS0〉 ⇒ l=Sm〉〉 ∧ 〈〈〈〈〈〈k=S0 ∨ k=SS0〉 ∨ k=SSS0〉 ∨ k=SSSS0〉 ∨ k=SSSSS0〉 ∨ k=SSSSSS0〉 ⇒ 〈l=S(m+ n) ∧ ∀o:〈〈∃p:〈∃q:S(p+ q)=m ∧ 〈∃q:e=(o+ (q· S(f· SS(j+ p)))) ∧ ∃q:(o+ q)=(f· SS(j+ p))〉〉 ∧ ∃p:〈∃q:S(p+ q)=n ∧ 〈∃q:e=(o+ (q· S(f· SS((m+ j)+ p)))) ∧ ∃q:(o+ q)=(f· SS((m+ j)+ p))〉〉〉 ⇒ 〈〈∀p:¬〈〈∃q:S(p+ q)=m ∧ 〈∃q:e=SSSSSS(q· S(f· SS(j+ p))) ∧ ∃q:SSSSSSq=(f· SS(j+ p))〉〉 ∧ 〈∃q:e=(o+ (q· S(f· SSS(j+ p)))) ∧ ∃q:(o+ q)=(f· SSS(j+ p))〉〉 ∨ ∀p:¬〈〈∃q:S(p+ q)=n ∧ 〈∃q:e=SSSSSS(q· S(f· SS((m+ j)+ p))) ∧ ∃q:SSSSSSq=(f· SS((m+ j)+ p))〉〉 ∧ 〈∃q:e=(o+ (q· S(f· SSS((m+ j)+ p)))) ∧ ∃q:(o+ q)=(f· SSS((m+ j)+ p))〉〉〉 ⇒ ∀p:¬〈〈∃q:S(p+ q)=(m+ n) ∧ 〈∃q:e=SSSSSS(q· S(f· SS(j+ p))) ∧ ∃q:SSSSSSq=(f· SS(j+ p))〉〉 ∧ 〈∃q:e=(o+ (q· S(f· SSS(j+ p)))) ∧ ∃q:(o+ q)=(f· SSS(j+ p))〉〉〉〉〉〉〉 ∧ ∀o:〈〈∃p:e=(o+ (p· S(f· SSj))) ∧ ∃p:(o+ p)=(f· SSj)〉 ⇒ 〈〈〈〈〈〈k=0 ∨ k=S0〉 ∨ k=SS0〉 ∨ k=SSSSSSS0〉 ⇒ 〈〈〈〈o=S0 ∨ o=SS0〉 ∨ o=SSS0〉 ∨ o=SSSSSS0〉 ∨ o=SSSSSSS0〉〉 ∧ 〈〈〈〈k=SSS0 ∨ k=SSSS0〉 ∨ k=SSSSS0〉 ∨ k=SSSSSSSS0〉 ⇒ 〈〈o=SSSS0 ∨ o=SSSSS0〉 ∨ ∃p:SSSSSSSSp=o〉〉〉 ∧ 〈k=SSSSSS0 ⇒ ∃p:SSSSSSSSSSp=o〉〉〉〉 ∧ ∀o:〈〈∃p:e=(o+ (p· S(f· SS(m+ j)))) ∧ ∃p:(o+ p)=(f· SS(m+ j))〉 ⇒ 〈〈〈k=0 ⇒ k=o〉 ∧ 〈〈〈k=S0 ∨ k=SS0〉 ∨ k=SSSSSS0〉 ⇒ 〈〈〈〈o=S0 ∨ o=SS0〉 ∨ o=SSS0〉 ∨ o=SSSSSS0〉 ∨ o=SSSSSSS0〉〉〉 ∧ 〈〈〈k=SSS0 ∨ k=SSSS0〉 ∨ k=SSSSS0〉 ⇒ 〈〈o=SSSS0 ∨ o=SSSSS0〉 ∨ ∃p:SSSSSSSSp=o〉〉〉〉〉 ∧ 〈j=0 ⇒ k=0〉〉〉〉〉 ∧ ∃j:〈〈〈g=S(j+ d) ∧ ∃k:e=(k· S(f· Sj))〉 ∧ ∀k:¬〈〈∃l:S(k+ l)=d ∧ 〈∃l:b=SSSSSS(l· S(c· Sk)) ∧ ∃l:SSSSSSl=(c· Sk)〉〉 ∧ ∃l:b=(l· S(c· SSk))〉〉 ∧ ∀k:∀l:〈〈∃m:S(k+ m)=d ∧ 〈∃m:b=(l+ (m· S(c· Sk))) ∧ ∃m:(l+ m)=(c· Sk)〉〉 ⇒ 〈∃m:e=(l+ (m· S(f· SS(j+ k)))) ∧ ∃m:(l+ m)=(f· SS(j+ k))〉〉〉〉 ∧ ∀j:∀k:〈〈∃l:e=(l· S(f· Sj)) ∧ 〈∃l:h=(k+ (l· S(f· SSj))) ∧ ∃l:(k+ l)=(f· SSj)〉〉 ⇒ 〈〈〈〈∃l:e=SSSSSS(l· S(f· SSj)) ∧ ∃l:SSSSSSl=(f· SSj)〉 ∧ 〈∃l:e=SSSSSSSSSS(l· S(f· SSSj)) ∧ ∃l:SSSSSSSSSSl=(f· SSSj)〉〉 ∧ 〈〈〈〈〈〈∃l:e=SSSSSSS(l· S(f· SSSSj)) ∧ ∃l:e=SSS(l· S(f· SSSSSj))〉 ∧ ∃l:e=SSSSSSSS(l· S(f· SSSSSSj))〉 ∧ ∃l:e=SSSSSSSSSS(l· S(f· SSSSSSSj))〉 ∧ ∃l:e=SSSSSSSSS(l· S(f· SSSSSSSSj))〉 ∨ 〈〈〈∃l:e=SSS(l· S(f· SSSSj)) ∧ ∃l:e=SSSSSSSSSS(l· S(f· SSSSSSj))〉 ∧ ∃l:e=SSSSSSSSS(l· S(f· SSSSSSSj))〉 ∧ 〈〈∃l:e=SSSS(l· S(f· SSSSSj)) ∧ ∃l:e=SSSSSSSSSS(l· S(f· SSSSSSSSj))〉 ∨ 〈∃l:e=SSSSS(l· S(f· SSSSSj)) ∧ ∃l:e=SSSSSSSSS(l· S(f· SSSSSSSSj))〉〉〉〉 ∨ 〈〈〈〈〈〈〈〈∃l:e=SSSSSS(l· S(f· SSSSj)) ∧ ∃l:e=SSSSSSSSSSS(l· S(f· SSSSSj))〉 ∧ ∃l:e=SSS(l· S(f· SSSSSSj))〉 ∧ ∃l:e=SSSSSSSSSS(l· S(f· SSSSSSSSj))〉 ∧ ∃l:e=SSSSSSSS(l· S(f· SSSSSSSSSj))〉 ∧ ∃l:e=SSSSSSSSSSS(l· S(f· SSSSSSSSSSj))〉 ∧ ∃l:e=SSSSSSSSSS(l· S(f· SSSSSSSSSSSSSj))〉 ∧ ∃l:e=SSSSSSSSSSS(l· S(f· SSSSSSSSSSSSSSj))〉 ∧ 〈〈〈∃l:e=SSSS(l· S(f· SSSSSSSj)) ∧ ∃l:e=SSSSSSSS(l· S(f· SSSSSSSSSSSj))〉 ∧ ∃l:e=SSSS(l· S(f· SSSSSSSSSSSSj))〉 ∨ 〈〈〈∃l:e=SSSSS(l· S(f· SSSSSSSj)) ∧ ∃l:e=SSSS(l· S(f· SSSSSSSSSSSj))〉 ∧ 〈∃l:e=SSSSS(l· S(f· SSSSSSSSSSSSj)) ∧ ∃l:SSSSSl=(f· SSSSSSSSSSSSj)〉〉 ∧ ∃l:e=SSSSSSSSSS(l· S(f· SSSSSSSSSSSSSSSj))〉〉〉〉〉 ∨ ∃l:∃m:〈〈〈〈∃n:S(l+ n)=j ∧ ∃n:e=(n· S(f· Sl))〉 ∧ 〈∃n:h=(m+ (n· S(f· SSl))) ∧ ∃n:(m+ n)=(f· SSl)〉〉 ∧ ∀n:∀o:∀p:〈〈〈〈∃q:i=(n+ (q· S(f· SSl))) ∧ ∃q:(n+ q)=(f· SSl)〉 ∧ ∃q:((l+ o)+ q)=j〉 ∧ 〈∃q:i=(p+ (q· S(f· SS(l+ o)))) ∧ ∃q:(p+ q)=(f· SS(l+ o))〉〉 ⇒ ∃q:(p+ q)=n〉〉 ∧ 〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈∀n:∀o:〈〈∃p:S(n+ p)=m ∧ 〈∃p:e=(o+ (p· S(f· SS(n+ j)))) ∧ ∃p:(o+ p)=(f· SS(n+ j))〉〉 ⇒ ∃p:e=(o+ (p· S(f· SS(n+ l))))〉 ∨ 〈〈〈∃n:e=SSS(n· S(f· SSj)) ∧ ∃n:SSSn=(f· SSj)〉 ∧ k=m〉 ∧ ∃n:∃o:〈〈S(n+ o)=k ∧ ∀p:∀q:〈〈∃r:S(p+ r)=o ∧ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ j)))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSS(p+ j))〉〉 ⇒ ∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ (l+ n)))))〉〉 ∧ ∀p:∀q:〈〈∃r:S(p+ r)=n ∧ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ (j+ o))))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSS(p+ (j+ o)))〉〉 ⇒ ∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ l))))〉〉〉〉 ∨ 〈〈〈∃n:e=SSSSSSS(n· S(f· SSj)) ∧ ∃n:SSSSSSSn=(f· SSj)〉 ∧ k=SSm〉 ∧ ∀n:∀o:〈〈∃p:S(n+ p)=m ∧ 〈∃p:e=(o+ (p· S(f· SSSS(n+ j)))) ∧ ∃p:(o+ p)=(f· SSSS(n+ j))〉〉 ⇒ 〈∃p:e=(o+ (p· S(f· SS(n+ l)))) ∧ ∃p:(o+ p)=(f· SS(n+ l))〉〉〉〉 ∨ 〈〈〈∃n:e=SSSSSSS(n· S(f· SSl)) ∧ ∃n:SSSSSSSn=(f· SSl)〉 ∧ m=SSk〉 ∧ ∀n:∀o:〈〈∃p:S(n+ p)=k ∧ 〈∃p:e=(o+ (p· S(f· SSSS(n+ l)))) ∧ ∃p:(o+ p)=(f· SSSS(n+ l))〉〉 ⇒ 〈∃p:e=(o+ (p· S(f· SS(n+ j)))) ∧ ∃p:(o+ p)=(f· SS(n+ j))〉〉〉〉 ∨ ∃n:∃o:〈〈〈〈〈〈∃p:h=(n+ (p· S(f· SSSl))) ∧ ∃p:(n+ p)=(f· SSSl)〉 ∧ S(n+ o)=m〉 ∧ 〈∃p:e=SSSSSSSS(p· S(f· SSSj)) ∧ ∃p:SSSSSSSSp=(f· SSSj)〉〉 ∧ 〈∃p:e=SSSSSSSS(p· S(f· SSSS(j+ n))) ∧ ∃p:SSSSSSSSp=(f· SSSS(j+ n))〉〉 ∧ ∀p:∀q:〈〈∃r:S(p+ r)=n ∧ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSSS(p+ j)))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSSS(p+ j))〉〉 ⇒ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ l)))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSS(p+ l))〉〉〉 ∧ ∀p:∀q:〈〈∃r:S(p+ r)=o ∧ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSSSS(p+ (j+ n))))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSSSS(p+ (j+ n)))〉〉 ⇒ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ (l+ n))))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSS(p+ (l+ n)))〉〉〉〉 ∨ ∃n:∃o:〈〈〈〈〈〈∃p:h=(n+ (p· S(f· SSSj))) ∧ ∃p:(n+ p)=(f· SSSj)〉 ∧ S(n+ o)=k〉 ∧ 〈∃p:e=SSSSSSSS(p· S(f· SSSl)) ∧ ∃p:SSSSSSSSp=(f· SSSl)〉〉 ∧ 〈∃p:e=SSSSSSSS(p· S(f· SSSS(l+ n))) ∧ ∃p:SSSSSSSSp=(f· SSSS(l+ n))〉〉 ∧ ∀p:∀q:〈〈∃r:S(p+ r)=n ∧ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSSS(p+ l)))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSSS(p+ l))〉〉 ⇒ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ j)))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSS(p+ j))〉〉〉 ∧ ∀p:∀q:〈〈∃r:S(p+ r)=o ∧ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSSSS(p+ (l+ n))))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSSSS(p+ (l+ n)))〉〉 ⇒ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ (j+ n))))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSS(p+ (j+ n)))〉〉〉〉 ∨ 〈〈∃n:e=SS(n· S(f· SSl)) ∧ ∃n:SSn=(f· SSl)〉 ∧ ∀n:∀o:〈〈∃p:S(n+ p)=k ∧ 〈∃p:e=(o+ (p· S(f· SS(n+ j)))) ∧ ∃p:(o+ p)=(f· SS(n+ j))〉〉 ⇒ ∃p:e=(o+ (p· S(f· SSS(n+ l))))〉〉〉 ∨ ∃n:〈〈〈∃o:h=(n+ (o· S(f· SSSl))) ∧ ∃o:(n+ o)=(f· SSSl)〉 ∧ 〈∃o:e=SS(o· S(f· SSl)) ∧ ∃o:SSo=(f· SSl)〉〉 ∧ ∀o:∀p:〈〈∃q:S(o+ q)=k ∧ 〈∃q:e=(p+ (q· S(f· SS(o+ j)))) ∧ ∃q:(p+ q)=(f· SS(o+ j))〉〉 ⇒ ∃q:e=(p+ (q· S(f· SSS(o+ (l+ n)))))〉〉〉 ∨ 〈k=SSm ∧ ∃n:∃o:〈〈〈〈S(n+ o)=m ∧ 〈∃p:e=S(p· S(f· SSj)) ∧ ∃p:Sp=(f· SSj)〉〉 ∧ 〈∃p:e=S(p· S(f· SSl)) ∧ ∃p:Sp=(f· SSl)〉〉 ∧ ∀p:∀q:〈〈∃r:S(p+ r)=o ∧ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSSSS(p+ (j+ n))))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSSSS(p+ (j+ n)))〉〉 ⇒ ∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ l))))〉〉 ∧ ∀p:∀q:〈〈∃r:S(p+ r)=n ∧ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSSS(p+ j)))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSSS(p+ j))〉〉 ⇒ ∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ (l+ o)))))〉〉〉〉 ∨ ∃n:∃o:∃p:∃q:〈〈〈m=SSq ∧ 〈∃r:e=SSSSSS(r· S(f· SSl)) ∧ ∃r:SSSSSSr=(f· SSl)〉〉 ∧ 〈∃r:e=(n+ (r· S(f· SSSl))) ∧ ∃r:(n+ r)=(f· SSSl)〉〉 ∧ 〈∀r:〈∃s:〈∃t:S(s+ t)=p ∧ 〈∃t:e=(r+ (t· S(f· S(o+ s)))) ∧ ∃t:(r+ t)=(f· S(o+ s))〉〉 ⇒ ∀s:¬〈〈∃t:S(s+ t)=q ∧ 〈∃t:e=SSSSSS(t· S(f· SSSS(l+ s))) ∧ ∃t:SSSSSSt=(f· SSSS(l+ s))〉〉 ∧ 〈∃t:e=(r+ (t· S(f· SSSSS(l+ s)))) ∧ ∃t:(r+ t)=(f· SSSSS(l+ s))〉〉〉 ∧ ∃r:∃s:〈〈∃t:r=(t· Ss) ∧ 〈∃t:r=(k+ (t· S(s· Sq))) ∧ ∃t:(k+ t)=(s· Sq)〉〉 ∧ ∀t:∀u:∀v:∀w:〈〈〈〈∃x:S(t+ x)=q ∧ 〈∃x:r=(u+ (x· S(s· St))) ∧ ∃x:(u+ x)=(s· St)〉〉 ∧ 〈∃x:r=(v+ (x· S(s· SSt))) ∧ ∃x:(v+ x)=(s· SSt)〉〉 ∧ 〈∃x:e=(w+ (x· S(f· SSSS(l+ t)))) ∧ ∃x:(w+ x)=(f· SSSS(l+ t))〉〉 ⇒ 〈〈¬w=n ⇒ 〈〈∃x:e=(w+ (x· S(f· SS(j+ u)))) ∧ ∃x:(w+ x)=(f· SS(j+ u))〉 ∧ v=Su〉〉 ∧ 〈w=n ⇒ 〈∀x:∀y:〈〈∃z:S(x+ z)=p ∧ 〈∃z:e=(y+ (z· S(f· S(o+ x)))) ∧ ∃z:(y+ z)=(f· S(o+ x))〉〉 ⇒ 〈∃z:e=(y+ (z· S(f· SS((x+ u)+ j)))) ∧ ∃z:(y+ z)=(f· SS((x+ u)+ j))〉〉 ∧ v=(p+ u)〉〉〉〉〉〉〉〉 ∨ ∃n:〈∀o:〈〈〈∃p:S(o+ p)=j ∧ ∃p:e=(p· S(f· So))〉 ∧ ∀p:∀q:∀r:〈〈〈〈∃s:i=(q+ (s· S(f· So))) ∧ ∃s:(q+ s)=(f· So)〉 ∧ 〈∃s:i=(r+ (s· S(f· SS(p+ o)))) ∧ ∃s:(r+ s)=(f· SS(p+ o))〉〉 ∧ ∃s:S((o+ p)+ s)=j〉 ⇒ ∃s:S(q+ s)=r〉〉 ⇒ ∀p:¬〈〈〈∃q:h=(p+ (q· S(f· So))) ∧ ∃q:(p+ q)=(f· So)〉 ∧ ∃q:〈∃r:S(q+ r)=p ∧ 〈∃r:e=(n+ (r· S(f· S(o+ q)))) ∧ ∃r:(n+ r)=(f· S(o+ q))〉〉〉 ∧ ∀q:¬〈〈∃r:S(q+ r)=p ∧ 〈∃r:e=SSSSSS(r· S(f· S(o+ q))) ∧ ∃r:SSSSSSr=(f· S(o+ q))〉〉 ∧ 〈∃r:e=(n+ (r· S(f· SS(o+ q)))) ∧ ∃r:(n+ r)=(f· SS(o+ q))〉〉〉〉 ∧ 〈〈〈∃o:e=SSSSSS(o· S(f· SSj)) ∧ ∃o:SSSSSSo=(f· SSj)〉 ∧ 〈∃o:e=(n+ (o· S(f· SSSj))) ∧ ∃o:(n+ o)=(f· SSSj)〉〉 ∧ ∀o:∀p:〈〈∃q:S(o+ q)=m ∧ 〈∃q:e=(p+ (q· S(f· SSSS(o+ j)))) ∧ ∃q:(p+ q)=(f· SSSS(o+ j))〉〉 ⇒ 〈∃q:e=(p+ (q· S(f· SS(o+ l)))) ∧ ∃q:(p+ q)=(f· SS(o+ l))〉〉〉〉〉 ∨ ∃n:∃o:〈〈〈〈∃p:S(n+ p)=j ∧ ∃p:e=(p· S(f· Sn))〉 ∧ 〈∃p:h=(o+ (p· S(f· SSn))) ∧ ∃p:(o+ p)=(f· SSn)〉〉 ∧ ∀p:∀q:∀r:〈〈〈〈∃s:i=(p+ (s· S(f· SSn))) ∧ ∃s:(p+ s)=(f· SSn)〉 ∧ ∃s:((n+ q)+ s)=j〉 ∧ 〈∃s:i=(r+ (s· S(f· SS(n+ q)))) ∧ ∃s:(r+ s)=(f· SS(n+ q))〉〉 ⇒ ∃s:(r+ s)=p〉〉 ∧ 〈〈〈〈〈〈〈∃p:e=SS(p· S(f· SSj)) ∧ ∃p:SSp=(f· SSj)〉 ∧ ∀p:∀q:〈〈∃r:S(p+ r)=m ∧ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ j)))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSS(p+ j))〉〉 ⇒ ∃r:e=(q+ (r· S(f· SS(p+ l))))〉〉 ∧ ∀p:∀q:〈〈∃r:S(p+ r)=o ∧ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ (j+ m))))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSS(p+ (j+ m)))〉〉 ⇒ ∃r:e=(q+ (r· S(f· SS(p+ n))))〉〉 ∨ 〈〈〈∃p:e=S(p· S(f· SSl)) ∧ ∃p:Sp=(f· SSl)〉 ∧ ∀p:∀q:〈〈∃r:S(p+ r)=o ∧ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ l)))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSS(p+ l))〉〉 ⇒ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SS(p+ n)))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SS(p+ n))〉〉〉 ∧ ∀p:∀q:〈〈∃r:S(p+ r)=k ∧ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SS(p+ j)))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SS(p+ j))〉〉 ⇒ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ (l+ o))))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSS(p+ (l+ o)))〉〉〉〉 ∨ 〈〈∃p:e=SSS(p· S(f· SSj)) ∧ ∃p:SSSp=(f· SSj)〉 ∧ ∃p:∃q:∃r:〈〈〈〈〈S(p+ q)=k ∧ S(p+ r)=m〉 ∧ S(r+ q)=o〉 ∧ ∀s:∀t:〈〈∃u:S(s+ u)=p ∧ 〈∃u:e=(t+ (u· S(f· SSS(s+ j)))) ∧ ∃u:(t+ u)=(f· SSS(s+ j))〉〉 ⇒ ∃u:e=(t+ (u· S(f· SSS(s+ l))))〉〉 ∧ ∀s:∀t:〈〈∃u:S(s+ u)=r ∧ 〈∃u:e=(t+ (u· S(f· SSS(s+ n)))) ∧ ∃u:(t+ u)=(f· SSS(s+ n))〉〉 ⇒ 〈∃u:e=(t+ (u· S(f· SSS(s+ (l+ p))))) ∧ ∃u:(t+ u)=(f· SSS(s+ (l+ p)))〉〉〉 ∧ ∀s:∀t:〈〈∃u:S(s+ u)=q ∧ 〈∃u:e=(t+ (u· S(f· SSS(s+ (j+ p))))) ∧ ∃u:(t+ u)=(f· SSS(s+ (j+ p)))〉〉 ⇒ ∃u:e=(t+ (u· S(f· SSS(s+ (n+ r)))))〉〉〉〉 ∨ ∃p:〈〈〈〈〈〈〈〈∃q:e=SSSSSS(q· S(f· SSj)) ∧ ∃q:SSSSSSq=(f· SSj)〉 ∧ 〈∃q:e=(p+ (q· S(f· SSSj))) ∧ ∃q:(p+ q)=(f· SSSj)〉〉 ∧ 〈∃q:e=SSSSSS(q· S(f· SSn)) ∧ ∃q:SSSSSSq=(f· SSn)〉〉 ∧ 〈∃q:e=(p+ (q· S(f· SSSn))) ∧ ∃q:(p+ q)=(f· SSSn)〉〉 ∧ 〈∃q:e=S(q· S(f· SSSSn)) ∧ ∃q:Sq=(f· SSSSn)〉〉 ∧ ∀q:∀r:〈〈∃s:S(q+ s)=m ∧ 〈∃s:e=(r+ (s· S(f· SSSS(q+ j)))) ∧ ∃s:(r+ s)=(f· SSSS(q+ j))〉〉 ⇒ 〈∃s:e=(r+ (s· S(f· SSSSS(q+ n)))) ∧ ∃s:(r+ s)=(f· SSSSS(q+ n))〉〉〉 ∧ ∀q:∀r:∀s:〈〈〈∃t:S(q+ t)=m ∧ 〈∃t:e=(r+ (t· S(f· SS(l+ q)))) ∧ ∃t:(r+ t)=(f· SS(l+ q))〉〉 ∧ 〈∃t:e=(s+ (t· S(f· SSSS(j+ q)))) ∧ ∃t:(s+ t)=(f· SSSS(j+ q))〉〉 ⇒ 〈〈s=p ⇒ r=SSSSSSSSS0〉 ∧ 〈¬s=p ⇒ r=s〉〉〉〉 ∧ ∃q:∃r:〈〈∃s:q=SSSS((m+ l)+ (s· S(r· SSSSj))) ∧ ∃s:SSSS((m+ l)+ s)=(r· SSSSj)〉 ∧ ∀s:∀t:∀u:∀v:∀w:〈〈〈〈〈∃x:S(s+ x)=m ∧ 〈∃x:q=(t+ (x· S(r· SSSS(j+ s)))) ∧ ∃x:(t+ x)=(r· SSSS(j+ s))〉〉 ∧ 〈∃x:q=(u+ (x· S(r· SSSSS(j+ s)))) ∧ ∃x:(u+ x)=(r· SSSSS(j+ s))〉〉 ∧ 〈∃x:e=(v+ (x· S(f· SSSS(j+ s)))) ∧ ∃x:(v+ x)=(f· SSSS(j+ s))〉〉 ∧ 〈∃x:e=(w+ (x· S(f· St))) ∧ ∃x:(w+ x)=(f· St)〉〉 ⇒ 〈〈v=p ⇒ 〈〈u=SSt ∧ 〈∃x:e=(p+ (x· S(f· SSt))) ∧ ∃x:(p+ x)=(f· SSt)〉〉 ∧ w=SSSSSSSS0〉〉 ∧ 〈¬v=p ⇒ 〈u=St ∧ w=v〉〉〉〉〉〉〉 ∨ 〈∃p:〈〈〈S(n+ o)=j ∧ 〈∃q:i=(p+ (q· S(f· Sl))) ∧ ∃q:(p+ q)=(f· Sl)〉〉 ∧ 〈∃q:i=(p+ (q· S(f· SSj))) ∧ ∃q:(p+ q)=(f· SSj)〉〉 ∧ ∀q:∀r:〈〈∃s:S((l+ q)+ s)=j ∧ 〈∃s:i=(r+ (s· S(f· SS(l+ q)))) ∧ ∃s:(r+ s)=(f· SS(l+ q))〉〉 ⇒ ∃s:S(p+ s)=r〉〉 ∧ 〈〈〈∃p:e=S(p· S(f· SSj)) ∧ ∃p:Sp=(f· SSj)〉 ∧ ∀p:∀q:〈〈∃r:S(p+ r)=m ∧ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ j)))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSS(p+ j))〉〉 ⇒ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SS(p+ l)))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SS(p+ l))〉〉〉 ∧ ∀p:∀q:〈〈∃r:S(p+ r)=o ∧ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SS(p+ n)))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SS(p+ n))〉〉 ⇒ 〈∃r:e=(q+ (r· S(f· SSS(p+ (j+ m))))) ∧ ∃r:(q+ r)=(f· SSS(p+ (j+ m)))〉〉〉〉〉〉〉〉〉〉〉〉