Critique my proof of $\lvert x \rvert + \lvert y \rvert \leq \lvert x + y \rvert + \lvert x – y \rvert, \ x,y \in \mathbb{R}$
Let $x, y \in \mathbb{R}$.
Case #1: $x = y$
$\Rightarrow \lvert x \rvert = \lvert y \rvert$. Hence,
$$\lvert x + y \rvert = \lvert x \rvert + \lvert x \rvert = 2 \lvert x \rvert$$
and $$\lvert x – y \rvert = \lvert x – x\rvert = 0.$$
Thus, $\lvert x \rvert$ + $\lvert y \rvert = 2 \lvert x \rvert \leq \lvert x + y \rvert + \lvert x – y \rvert = 2 \lvert x \rvert$.
Case #2: $x > y$
Assume for the sake of contradiction that $\lvert x \rvert + \lvert y \rvert > \lvert x + y \rvert + \lvert x – y \rvert.$
Hence, $$ \lvert x + y \rvert + \lvert x – y \rvert < \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$$
$$\leq \lvert x \rvert + \lvert y \rvert + \lvert x – y \rvert < \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$$
by the triangle inequality, which is a contradiction b/c $\lvert x – y \rvert > 0$. Thus, it must be that $\lvert x \rvert + \lvert y \rvert \leq \lvert x + y \rvert + \lvert x – y \rvert$ in this case.
Case #3: $x < y$
WLOG, the proof is the same as case #2.
$\therefore \lvert x \rvert + \lvert y \rvert \leq \lvert x + y \rvert + \lvert x – y \rvert, \ x,y \in \mathbb{R}$.
Best Answer
There is a flaw in your case 2 because you used the triangle inequality the wrong way. $|x + y|+|x - y|<blah$ and $|x + y|\le|x|+|y|$ don't imply $|x|+|y|+|x - y|<blah.$