Hi I have just found the proof that 90 equals 95 and was wondering if I have made some mistake. If so, which step in my proof is not true?
Definitions:
1. $\angle ABC=90^{\circ}$
2. $\angle BCD=95^{\circ}$
3. $|AB|=|CD|$
4. $M:=$ the center of $BC$
5. $N:=$ the center of $AD$
6. $l:=$ a line perpendicular to $BC$ passing through $M$
7. $m:=$ a line perpendicular to $AD$ passing through $N$
8. $S:=$ is the cross-section of $l$ and $m$
Based on definitions 1 through 8 we can draw the following image:
Based on the definitions we can derive the following:
9. $\triangle BSC$ is isosceles (follows from 4, 6 and 8)
10. $\triangle ASD$ is isosceles (follows from 5, 7 and 8)
11. $|BS|=|CS|$ (follows from 9)
12. $|AS|=|DS|$ (follows from 10)
13. $\triangle ABS\cong\triangle DCS$ (follows from 3, 11 and 12)
14. $\angle ABS=\angle DCS$ (follows from 13)
15. $\angle CBS=\angle BCS$ (follows from 9)
16. $\angle ABC=\angle ABS – \angle CBS=\angle DCS-\angle BCS=\angle BCD$ (follows from 14 and 15)
17. $90^{\circ}=95^{\circ}$ (follows from 1, 2 and 16)
Note: point $S$ is indeed lying above $BC$. If however it would be below $BC$, then the 'minus' in step 16 would simply have to be changed into a 'plus'.
Also note: The image is not drawn to scale. It only serves as to provide the reader with a intuitive view of the proof.
Also also note: before posting, I have first investigated if this type of question would be appropriate. Based on How come 32.5 = 31.5? and the following meta Questions about math jokes I have decided to post this question.
Best Answer
$$ \begin{array}{l} 0\in\mathbb N\\ \forall n\in \mathbb N : n'\in \mathbb N\\ \hline 0'\in\mathbb N\\ \forall n\in \mathbb N : n'\in \mathbb N\\ \hline 0''\in\mathbb N\\ \forall n\in \mathbb N : n'\in \mathbb N\\ \hline 0'''\in\mathbb N\\ \forall n\in \mathbb N : n'\in \mathbb N\\ \hline 0''''\in\mathbb N\\ \forall n\in \mathbb N : n'\neq0\\ \hline 0'''''\neq0\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''\neq0'\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''\neq0''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''\neq0'''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''\neq0''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''\neq0'''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''\neq0''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''\neq0'''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''\neq0''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''\neq0'''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''\neq0''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''\neq0'''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''\neq0''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline \phantom{0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''} \end{array} $$ $$ \begin{array}{l} 0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 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0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline \phantom{0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''} \end{array} $$ $$ \begin{array}{l} 0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\\ \\ \square \end{array} $$